Глава 2

Теория размерности

Лекция 12

2.1 Градуированные кольца и модули

Градуированное кольцо – это кольцо A, для которого задано разложение аддитивной группы

A = ⨁_{n≥0} A_{n},

причем ∀m, n : A_{m} · A_{n} ⊂ A_{m+n}.

Пример: кольцо многочленов от нескольких переменных над произвольным кольцом; при этом A_{n} – однородные многочлены полной степени n.

Градуированный модуль – это модуль M над градуированным кольцом A с разложением (как группы)

M = ⨁_{n≥0} M_{n},

причем ∀m, n : A_{m} · M_{n} ⊂ M_{m+n}.

Элементы A_{n} (соответственно M_{n}) называются однородными элементами степени n. Если m = ∑ m_{i}, где m_{i} ∈ M_{i}, то m_{i} называют однородными компонентами m.

Подмодуль N градуированного модуля M называется градуированным подмодулем, если N = ⨁_{n≥0}(N ∩ M_{n}).

2.1.1 Лемма. Пусть M – градуированный A-модуль, N – подмодуль в M. Тогда

следующие три условия эквивалентны.

1. N – градуированный подмодуль.

2. N порожден однородными элементами.

3. Если n ∈ N, то все однородные компоненты n лежат в N.

Д. 3⇒1⇒2 тривиально.

2⇒3. Для n ∈ N имеем n = ∑_{j=0}^{m} a^{(j)}n_{j}, n_{j} ∈ N ∩ M_{r_{j}}. Далее, a^{(j)} = ∑ a_{k}^{(j)}, a_{k}^{(j)} ∈ A_{k}. Отсюда

n = ∑_{j=0}^{m} ∑_{k≥0} a_{k}^{(j)}n_{j} = ∑_{l≥0}( ∑_{k+r_{j} =l} a_{k}^{(j)}n_{j}),

причем каждая из внутренних сумм является элементом N ∩ M_{l}.

Если N – градуированный подмодуль в N, то

M/N = ⨁(M_{n}/N ∩ M_{n})

– также градуированный модуль.

Идеал 𝔞 называется градуированным, если это градуированный подмодуль A. При этом

A/𝔞 = ⨁(A_{n}/𝔞 ∩ A_{n})

– градуированное кольцо!

2.1.2 Лемма. Пусть A – градуированное кольцо, A_{+} = A_{1} ⊕ A_{2} ⊕ . . .. Тогда

равносильны 2 утверждения.

1. A_{+} – конечно порожденный идеал.

2. A – A_{0}-алгебра конечного типа.

Д. И в �1�, и в �2� можно считать, что конечная система образующих состоит из однородных элементов. Поэтому достаточно доказать, что для x_{1}, …, x_{n} ∈ A, deg x_{i} = k_{i} > 0, имеем:

A_{+} = ⟨x_{1}, …, x_{n}⟩ ⟺ A = A_{0}[x_{1}, …, x_{n}].

⇐. Пусть x ∈ A_{k}, k > 0. Тогда x = P (x_{1}, …, x_{n}), P ∈ A_{0}[X_{1}, …, X_{n}]. Поскольку свободный член равен нулю, P (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ⟨x_{1}, …, x_{n}⟩. ⇒. Пусть A_{+} = ⟨x_{1}, …, x_{n}⟩. Рассмотрим x ∈ A_{k}. Докажем, что x ∈ A_{0}[x_{1}, …, x_{n}] индукцией по k. Если k = 0, это тривиально, а иначе x = x_{1}y_{1}+⋯+x_{n}y_{n}, y_{i} ∈ A. У обеих частей возьмем однородные компоненты степени k: x = x_{1}ỹ_{1} + ⋯ + x_{n}ỹ_{n}, где

ỹ_{i} = \begin{cases}однородная компонента y_{i} степени k − k_{i} , & k ≥ k_{i}, \\ 0, & k < k_{i}. \end{cases}

Поскольку ỹ_{i} – однородный элемент степени, меньшей k, это элемент A_{0}[x_{1}, …, x_{n}].

2.1.2.1 Следствие. Градуированное кольцо A нетерово, если и только если кольцо A_{0} нетерово, а A_{+} – конечно порожденный идеал.

Д. ⇒. A_{0} = A/A_{+} нетерово; A_{+} – идеал в нетеровом кольце.
⇐ по лемме.

Пусть A – нетерово кольцо, 𝔞 – идеал, M – конечно порожденный Aмодуль. Рассмотрим убывающую фильтрацию на модуле M, т. е. цепочку подмодулей

M = M_{0} ⊃ M_{1} ⊃ M_{2} ⊃ …  (2.1)

Она называется 𝔞-фильтрацией, если для всех i имеем 𝔞M_{i} ⊂ M_{i+1}. Если при этом M_{i+1} = 𝔞M_{i} для всех i, то это 𝔞-адическая фильтрация, а если это так для всех достаточно больших i, то это по существу 𝔞-адическая фильтрация.

2.1.3 Лемма. Пусть A, 𝔞, M – как выше, и на M задана 𝔞-фильтрация (2.1). Положим

A^{∗} = A + 𝔞 · X + 𝔞^{2} · X^{2} + ⋯ ⊂ A[X],
M^{∗} = M_{0} + M_{1} · X + M_{2} · X^{2} + ⋯ ⊂ M[X].

На M^{∗} есть очевидная структура A^{∗}-модуля. Тогда следующие 2 утверждения эквивалентны.

1. Фильтрация (2.1) по существу 𝔞-адическая.

2. M^{∗} – конечно порожденный A^{∗}-модуль.

Д. 1⇒2. Пусть M_{n+1} = 𝔞 · M_{n} при n ≥ n_{0}. Тогда M^{∗} порожден над A^{∗} множеством M_{0} + M_{1} · X + ⋯ + M_{n_{0}} · X^{n_{0}}. Поскольку M – конечно порожденный A-модуль, M_{0} + M_{1} · X + ⋯ + M_{n_{0}} · X^{n_{0}} также конечно порожден над A.

2⇒1. Все образующие M^{∗} должны содержаться в M_{0} + M_{1} · X + ⋯ + M_{n_{0}} · X^{n_{0}} при достаточно большом n_{0}. Однако порождаемый этим множеством A^{∗}-модуль имеет вид

M_{0} + M_{1} · X + ⋯ + M_{n_{0}} · X^{n_{0}} + (𝔞 · M_{n_{0}}) · X^{n_{0}+1} + …

2.1.3.1 Следствие. (Лемма Артина-Риса) Пусть A – нетерово кольцо, M – конечно порожденный A-модуль, M = M_{0} ⊃ M_{1} ⊃ … – по существу 𝔞адическая фильтрация, N – подмодуль M. Тогда индуцированная на N фильтрация N = N ∩ M_{0} ⊃ N ∩ M_{1} ⊃ … – также по существу 𝔞-адическая.

Д. По лемме 2.1.2 A^{∗} нетерово. Действительно: A нетерово; A_{+}^{∗} = (𝔞X)· A^{∗}; если a_{1}, …, a_{n} порождают 𝔞, то a_{1}X, …, a_{n}X порождают A_{+}^{∗}.

По лемме 2.1.3 M^{∗} конечно порожденный, N^{∗} подмодуль в нем, следовательно, N^{∗} – конечно порожденный.

2.1.4 Теорема. (Крулля о пересечении) Пусть A нетерово, 𝔞 идеал, M – конечно порожденный A-модуль. Положим N = ⋂_{n≥0} 𝔞^{n}M. Тогда 𝔞N = N.

Д. При больших n имеем

N ⊂ 𝔞^{n}M ∩ N = 𝔞^{n−r}(𝔞^{r}M ∩ N) ⊂ 𝔞N.

2.1.4.1 Следствие. В условиях теоремы найдется a ∈ A такой, что a ≡ 1 mod 𝔞 и aN = 0.

Д. Пусть m_{1}, …, m_{n} – система образующих N. Из m_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}m_{j}, где a_{ij} ∈ 𝔞, следует

(E_{n} − (a_{ij})) (m_{1} ; ⋮ ; m_{n}) = 0

Умножив на присоединенную матрицу, получим

(aE_{n}) (m_{1} ; ⋮ ; m_{n}) = 0,

где a = det(E_{n} − (a_{ij})). Ясно, что a – искомое.

2.1.4.2 Следствие. Пусть A – нетерово кольцо, 𝔞 ⊂ Jac A. Тогда ⋂ 𝔞^{n} = 0.

Д. По лемме Накаямы.

2.1.4.3 Следствие. Пусть A – нетерова область, 𝔞 – собственный идеал. Тогда ⋂ 𝔞^{n} = 0.

Д. Это следует из a · (⋂ 𝔞^{n}) = 0, a ≡ 1 mod 𝔞.

Лекция 13

2.2 Многочлены Гильберта-Самюэля

2.2.1 Лемма. Пусть f ∈ ℚ[X], f(n) ≥ 0 для почти всех n ∈ ℕ, f ≠ 0. Тогда старший коэффициент f положителен.

Д. Если f = a_{r}X^{r} + ⋯ + a_{0}, то a_{r} = lim_{n→∞} \frac{f(n)}{n^{r}}.

2.2.1.1 Следствие. Пусть f, g ∈ ℚ[X] с положительным старшим коэффициентом, f(n) ≥ g(n) при n ≫ 0. Тогда deg f ≥ deg g; если deg f = deg g, то старший коэффициент у f больше, чем у g. □

2.2.2 Лемма. Для отображения f : ℕ → ℕ и числа r ≥ 0 следующие утвержде-

ния эквивалентны.

1. Существует P ∈ ℚ[X] такой, что deg P ≤ r + 1 и f(n) = P (n) при почти всех n.

2. Существует Q ∈ ℚ[X] такой, что deg Q ≤ r и f(n + 1) − f(n) = Q(n) при почти всех n.

Д. 1⇒2 очевидно.

2⇒1. Введем многочлены

\binom{X}{i} = \frac{1}{i!} X(X − 1) … (X − i + 1), i ≥ 0.

Ясно, что \binom{X}{i} образуют базис ℚ[X] над ℚ. Заметим: \binom{n}{j} + \binom{n−1}{j} + ⋯ +

\binom{j}{j} = \binom{n+1}{j+1}.

Пусть Q = ∑_{k=0}^{r} a_{k}\binom{X}{k}. Для достаточного большого n_{0} имеем при n > n_{0}

(можно считать n_{0} > r):
f(n + 1) = f(n) + Q(n) = ⋯ = ∑_{α=0}^{n−n_{0}} Q(n − α) + f(n_{0})

= ∑_{k=0}^{r} a_{k}( ∑_{α=0}^{n−n_{0}} \binom{n − α}{k}) + f(n_{0})

= ∑_{k=0}^{r} a_{k}(∑_{β=k}^{n} \binom{β}{k} − ∑_{β=k}^{n_{0}−1} \binom{β}{k}) + f(n_{0})

= ∑_{k=0}^{r} a_{k}(\binom{n + 1}{k + 1} − \binom{n_{0}}{k + 1}) + f(n_{0}).

В качестве искомого подходит

P = ∑_{k=0}^{r} a_{k}(\binom{X + 1}{k + 1} − \binom{n_{0}}{k + 1}) + f(n_{0}).

Далее A = ⨁_{n≥0} A_{n} такое, что A_{0} артиново и A = A_{0}[x_{1}, …, x_{n}], где все x_{i} ∈ A_{1}. (При этом автоматически A нетерово.)

2.2.3 Лемма. l_{A_{0}}(A_{r}) ≤ \binom{n+r−1}{r−1} · l_{A_{0}}(A_{0}).

Д. Гомоморфизм

\begin{matrix}A_{0}[X_{1}, …, X_{n}] & → & A \\ X_{i} & ↦ & x_{i} \end{matrix}

сюръективен и сохраняет градуировку. Отсюда

l_{A_{0}}(A_{r}) ≤ l_{A_{0}}(A_{0}[X_{1}, …, X_{r}]_{r}) = \binom{n + r − 1}{r − 1} · l_{A_{0}}(A_{0}).

Пусть M = ⨁ M_{n} – конечно порожденный градуированный A-модуль. Можно считать, что он порожден однородными m_{i}, deg m_{i} = d_{i}, i = 1, …, r. Отсюда

M_{n} = ∑_{i=1}^{r} A_{n−d_{i}} · m_{i}

(считаем A_{i} = 0 при s < 0) и l_{A_{0}}(M_{n}) < ∞.

2.2.4 Теорема. (Гильберт) Пусть A = ⨁_{n≥0} A_{n} – градуированное кольцо, причем A_{0} артиново и A = A_{0}[x_{1}, …, x_{n}], x_{i} ∈ A_{1}. Пусть M – конечно порожденный градуированный A-модуль, f(n) = l_{A_{0}}(M_{n}). Тогда найдется P ∈ ℚ[X] такой, что f(n) = P (n) при n ≫ 0. При этом deg P ≤ r − 1, старший коэффициент P положителен или P = 0.

Многочлен P называют многочленом Гильберта-Самюэля модуля M и обозначают φ_{M}.

Д. Индукция по r.

\underline{r = 0}. Кольцо A = A_{0} артиново, откуда l_{A_{0}}(M) < ∞ и l_{A_{0}}(M_{n}) = 0 для n ≫ 0. \underline{r > 0}. Рассмотрим B = A/⟨x_{r}⟩; это градуированное кольцо, так как ⟨x_{r}⟩ – однородный идеал. При этом B_{0} = A_{0}/(⟨x_{r}⟩ ∩ A_{0}) = A_{0} артиново, и B = B_{0}[\overline{x_{1}}, …, \overline{x_{r−1}}]. По индукционному предположению для B все верно. Рассмотрим

\begin{matrix}φ : M_{n} & → & M_{n+1} \\ m & ↦ & x_{r}m \end{matrix}

и положим N_{n} = Ker φ, R_{n+1} = Coker φ. Из точной последовательности

0 → N_{n} → M_{n} → M_{n+1} → R_{n+1} → 0

имеем

l_{A_{0}}(M_{n+1}) − l_{A_{0}}(M_{n}) = l_{A_{0}}(R_{n+1}) − l_{A_{0}}(N_{n}).

Рассмотрим градуированные A_{0}-модули

N = ⨁_{i≥0} N_{i}, R = ⨁_{i≥0} R_{i}

(считая R_{0} = 0). Поскольку x_{r}N = x_{r}R = 0, их можно рассматривать как градуированные B-модули. Следовательно, найдутся f, g ∈ ℚ[X], deg f ≤ r−2, deg g ≤ r−2, такие, что l_{B_{0}}(N_{n}) = f(n) и l_{B_{0}}(R_{n}) = g(n) при n ≫ 0. Учитывая, что l_{A_{0}}(N_{n}) = l_{B_{0}}(N_{n}), l_{A_{0}}(R_{n}) = l_{B_{0}}(R_{n}), получаем, что существует Q ∈ ℚ[X], deg f ≤ r−2, такой, что l_{A_{0}}(M_{n+1})−l_{A_{0}}(M_{n}) = Q(n) при n ≫ 0. По лемме 2.2.2 существует P ∈ ℚ[X], deg f ≤ r−1, такой, что l_{A_{0}}(M_{n}) = Q(n) при n ≫ 0. По лемме 2.2.1 старший коэффициент P положителен или P = 0.

2.2.5 Пример A = A_{0}[X_{0}, X_{1}, …, X_{r}]. Имеем l_{A_{0}}A_{n} = \binom{n+r}{r} и

φ_{A} = \frac{l(A_{0})}{r!}(X + r)(X + r − 1) … (X + 1).

2.2.6 Пример Пусть k – поле, F ∈ k[X_{0}, …, X_{r}] – однородный степени s,

A = k[X_{0}, …, X_{r}]/⟨F ⟩.

Тогда при n ≥ s имеем

l_{k}(A_{n}) = \binom{n + r}{r} − \binom{n − s + r}{r}.

Учитывая, что

\binom{n + r}{r} = \frac{1}{r!}n^{r} + a_{1}n^{r−1} + …,

получаем

φ_{A} = \frac{1}{r!}(X^{r} − (X − s)^{r}) + a_{1}(X^{r−1} − (X − s)^{r−1}) + …
= \frac{s}{(r − 1)!}X^{r−1} + члены меньшей степени .

2.3 Функции Самюэля

Кольцо A называется полулокальным, если множество Max A конечно. Идеал 𝔞 полулокального нетерова кольца A называется идеалом определения, если ∃n : (Jac A)^{n} ⊂ 𝔞 ⊂ Jac A.

2.3.1 Лемма. Пусть A – полулокальное нетерово кольцо, 𝔞 – идеал. Тогда сле-

дующие 3 условия эквивалентны.

1. 𝔞 – идеал определения в A.

2. 𝔞 ⊂ Jac A, и A/𝔞 артиново.

3. V (𝔞) = Max A.

Д.

2 ⟺ 3 очевидно.

1⇒3. Ясно, что V (𝔞) ⊃ Max A. Пусть 𝔭 ∈ V (𝔞). Имеем

𝔭 ⊃ (Jac A)^{n} ⊃ (∏_{i=1}^{r} 𝔪_{i})^{n},

откуда ∃i : 𝔭 ⊃ 𝔪_{i}.

2⇒1. Поскольку A/𝔞 артиново, l_{A}(A/𝔞) < ∞. Следовательно, цепочка

A/𝔞 ⊃ (Jac A) · (A/𝔞) ⊃ ⋯ ⊃ (Jac A)^{n} · (A/𝔞) ⊃ …

стабилизируется. По лемме Накаямы, ∃n : (Jac A)^{n} · (A/𝔞) = 0.

2.3.1.1 Замечание. В локальном нетеровом кольце идеалы определения – это в точности 𝔪-примарные идеалы, т. е. примарные с радикалом 𝔪, где 𝔪 – максимальный.

Пусть A – полулокальное нетерово кольцо, 𝔞 – идеал определения, M – конечно порожденный A-модуль. Положим

gr A := ⨁_{i≥0} 𝔞^{i}/𝔞^{i+1}, gr M := ⨁_{i≥0} 𝔞^{i}M/𝔞^{i+1}M;

это градуированное кольцо и градуированный модуль над ним. Поскольку 𝔞^{i}M/𝔞^{i+1}M – конечно порожденный модуль над артиновым кольцом A_{0} = A/𝔞, это модуль конечной длины.

Можно также рассмотреть по существу 𝔞-адическую фильтрацию (F):

M = M_{0} ⊃ M_{1} ⊃ …

Положим

gr_{F} M := ⨁_{i≥0} M_{i}/M_{i+1};

это градуированный модуль над gr A. Как и в предыдущем случае, имеем l_{A_{0}}(M_{i}/M_{i+1}) < ∞.

2.3.2 Теорема. (Самюэль) Существует многочлен P_{F} (M, −) (соответственно P_{𝔞}(M, −)) такой, что при больших n имеем l_{A_{0}}(M/M_{n}) = P_{F} (M, n) (соответственно l_{A_{0}}(M/𝔞^{n}M) = P_{𝔞}(M, n)). При этом deg P_{F} (M, −) ≤ r (соответственно deg P_{𝔞}(M, −) ≤ r), где r – минимальное число образующих идеала 𝔞.

Д. Достаточно доказать существование P_{F} (M, n). По теореме Гильберта о характеристическом многочлене l_{A_{0}}(M_{n}/M_{n+1}) = φ_{gr_{F} M}(n) при n ≫ 0; deg φ_{gr_{F} M} ≤ r − 1. По лемме 2.2.2 существует P_{F} (M, −).

Лекция 14

2.3.3 Предложение. P_{F} (M, −) и P_{𝔞}(M, −) имеют одинаковую степень и одинаковый старший коэффициент.

Д. Имеем M_{n+n_{0}} = 𝔞^{n}M_{n_{0}} ⊂ 𝔞^{n}M ⊂ M_{n} при n_{0} ≫ 0 и любом n, откуда

P_{F} (M, n + n_{0}) ≥ P_{𝔞}(M, n) ≥ P_{F} (M, n)

при n_{0} ≫ 0. Следовательно,

deg P_{F} (M, X) = deg P_{F} (M, X + n_{0}) ≥ deg P_{𝔞}(M, X) ≥ deg P_{F} (M, X)

по следствию 2.2.1.1. По тому же следствию

ст. коэфф. P_{F} (M, X) = ст. коэфф. P_{F} (M, X + n_{0})
≥ ст. коэфф. P_{𝔞}(M, X)
≥ ст. коэфф. P_{F} (M, X).

Следовательно, везде равенство.

2.3.4 Предложение. Пусть M – конечно порожденный A-модуль, 𝔞 – идеал

определения.

1. P_{𝔞^{m}}(M, n) = P_{𝔞}(M, nm).

2. Пусть 𝔞′ – также идеал определения, 𝔞′ ⊂ 𝔞. Тогда P_{𝔞′}(M, n) ≥ P_{𝔞}(M, n). □

Таким образом, степень P_{𝔞}(M, −) не зависит от выбора 𝔞. Обозначим эту степень через d(M).

2.3.5 Предложение. Пусть

0 → M′ → M → M′′ → 0

– короткая точная последовательность конечно порожденных A-модулей. 1. d(M) = max(d(M′), d(M′′)).

2. P_{𝔞}(M′, −) и P_{𝔞}(M, −) − P_{𝔞}(M′′, −) имеют одинаковые степени и одинаковый старший коэффициент.

Д. На M′ рассмотрим фильтрацию (F):

M′_{n} = M′ ∩ 𝔞^{n}M.

По лемме Артина-Риса она по существу 𝔞-адическая;

l(M/𝔞^{n}M) = l(M/𝔞^{n}M + M′) + l(𝔞^{n}M + M′/𝔞^{n}M)
= l(M′′/𝔞^{n}M′′) + l(M′/𝔞^{n}M ∩ M′)
= l(M′′/𝔞^{n}M′′) + l(M′/M′_{n}),

откуда P_{𝔞}(M, −) = P_{𝔞}(M′′, −) + P_{F} (M′, −) (и в частности, d(M) = max(d(M′), d(M′′))). Следовательно, P_{𝔞}(M, −) − P_{𝔞}(M′′, −) имеет одинаковые степень и старший коэффициент с P_{𝔞}(M′, −).

2.3.5.1 Следствие. Пусть M – конечно порожденный A-модуль, и a ∈ A не является делителем нуля для M, т. е. am ≠ 0 при m ≠ 0. Тогда d(M/aM) < d(M).

Д. Последовательность

0 ⟶ M ⟶^{·a} M ⟶ M/aM ⟶ 0

точная, поэтому P_{𝔞}(M, −) имеет те же степень и старший коэффициент, что и P_{𝔞}(M, −) − P_{𝔞}(M/aM, −).

Функцией Самюэля модуля M называют P_{Jac A}(M, −).

2.4 Основная теорема теории размерности

Наряду с высотой идеала 𝔭 ∈ Spec A, равной ht 𝔭 = dim A_{𝔭}, мы будем пользоваться понятием ковысоты произвольного идеала 𝔞 кольца A: coht 𝔞 = dim(A/𝔞).

Пусть A – полулокальное нетерово кольцо, 𝔪 = Jac A. (Выбор обозначения объясняется тем, что на практике A обычно будет локальным.) С конечно порожденным A-модулем M связаны 3 величины:

dim M := coht Ann M;
s(M) := inf{n|∃a_{1}, …, a_{n} ∈ 𝔪 : l(M/a_{1}M + ⋯ + a_{n}M) < ∞};
d(M) = deg P_{𝔪}(M, −).

Цель: установить равенство этих трех величин. Заметим, что d(M) конечно по определению. То же можно сказать об

s(M), так как l(M/𝔪M) < ∞, а 𝔪 конечно порожден. Про dim M мы этого a priori не знаем.

2.4.1 Лемма. Пусть a ∈ 𝔪.

1. s(M/aM) ≥ s(M) − 1.

2. Предположим, что a ∉ 𝔭 для любого 𝔭 ∈ Supp M такого, что coht 𝔭 = dim M. Тогда dim(M/aM) ≤ dim M − 1.

Д. Пусть M̄ = M/aM, s = s(M̄).

1. Имеем

l(M̄/⟨a_{1}, …, a_{s}⟩) = l(M/⟨a, a_{1}, …, a_{s}⟩),

откуда s(M) ≤ s + 1.

2. Предположим, что dim(M/aM) ≥ dim M. Это значит, что найдется 𝔭 ⊃ Ann M̄ такой, что coht 𝔭 = dim M. Имеем 𝔭 ∈ Supp M̄ ⊂ Supp M. С другой стороны, a ∈ Ann M̄ ⊂ 𝔭, противоречие с условием.

2.4.2 Теорема. dim M = d(M) = s(M).

Д. Можно считать Ann M = 0. (Так как всегда можно заменить A на A/ Ann M.) Тогда dim M = dim A, Supp M = Spec A.) 1. Докажем, что dim M ≤ d(M).

Применим индукцию по d(M). Пусть d(M) = 0. Это означает, что l(M/𝔪^{n}) постоянна при больших n, откуда 𝔪^{n}M = 0 при n ≫ 0 по лемме Накаямы. Следовательно, 𝔪^{n} = 0 и dim A = 0.

Пусть d(M) ≥ 1. Выберем минимальный 𝔭_{0} ∈ Spec A такой, что dim A/𝔭_{0} = dim M. Поскольку 𝔭_{0} минимален в Supp M, 𝔭_{0} ∈ Ass M. Следовательно, найдется N ⊂ M такой, что N ≃ A/𝔭_{0}. Поскольку d(N) ≤ d(M), достаточно доказать dim N ≤ d(N). (Ясно, что dim M = dim N.)

Пусть 𝔭_{0} ⫋ 𝔭_{1} ⫋ ⋯ ⫋ 𝔭_{n} – цепочка простых в A; нужно проверить n ≤ d(N). Это будет сделано индукцией по n.

При n = 0 утверждение очевидно. При n > 0 выберем a ∈ 𝔭_{1} \ 𝔭_{0}; тогда a – не делитель нуля для N ≃ A/𝔭_{0}. Поскольку Ann(N/aN) = 𝔭_{0} + ⟨a⟩ ⊂ 𝔭_{1}, ясно, что dim(N/aN) ≥ n−1. С другой стороны, d(N/aN) ≤ d(N)−1 по следствию 2.3.5.1. По индукционному предположению, d(N/aN) ≥ dim(N/aN), откуда d(N) ≥ n. В частности, доказали, что dim M < ∞.

2. Докажем, что d(M) ≤ s(M).

Пусть s = s(M); a_{1}, …, a_{s} ∈ 𝔪 таковы, что l(M/a_{1}M + ⋯ + a_{s}M) < ∞. Положим 𝔞 = ⟨a_{1}, …, ⟩. Осталось доказать, что coht 𝔞 = 0. (Отсюда будет следовать, что 𝔞 – идеал определения, и d(M) ≤ s по теореме Самюэля.)

Пусть 𝔭 ⊃ 𝔞. Из Ann M = 0 следует M_{𝔭} ≠ 0. Имеем

(M/𝔞M)_{𝔭} ≃ M_{𝔭}/𝔞M_{𝔭} = M_{𝔭}/𝔞_{𝔭}M_{𝔭} ≠ 0

по лемме Накаямы. Таким образом, 𝔭 ∈ Supp(M/𝔞M). С другой стороны, поскольку l(M/𝔞M) < ∞, Ass(M/𝔞M) ⊂ Max A, а тем самым и Supp(M/𝔞M) ⊂ Max A.

3. Докажем, что s(M) ≤ dim M.

Используем индукцию по dim M. Если dim M = 0, то l(M) < ∞ и s(M) = 0.

Пусть dim M ≥ 1. Обозначим через 𝔭_{1}, …, 𝔭_{r} все простые идеалы с dim A/𝔭_{i} = dim M. Поскольку 𝔭_{i} ∉ Max A, имеем 𝔪 ⊄ 𝔭_{i}, откуда 𝔪 ⊄ 𝔭_{1} ∩ ⋯ ∩ 𝔭_{r}.

Выберем a ∈ 𝔪, a ∉ 𝔭_{1} ∩ ⋯ ∩ 𝔭_{r}. По лемме 2.4.1 s(M/aM) ≥ s(M) − 1 и dim(M/aM) ≤ dim M − 1. Наконец, по индукционному предположению s(M/aM) ≤ dim(M/aM).

2.4.2.1 Следствие. Если A – полулокальное нетерово кольцо, то dim A < ∞. А именно, dim A – наименьшее возможное число образующих идеала определения. □

2.4.2.2 Следствие. В нетеровом кольце убывающая цепочка простых идеалов обрывается. □

2.4.3 Предложение. Пусть A нетерово, 𝔭 ∈ Spec A, n – натуральное число. Тог-

да 2 условия эквивалентны.

1. ht 𝔭 ≤ n.

2. Существуют a_{1}, …, a_{n} ∈ A такие, что 𝔭 – минимальный среди простых, содержащих ⟨a_{1}, …, a_{n}⟩.

Д. Отметим, что ht 𝔭 = dim A_{𝔭}. Пусть 𝔞 = ⟨a_{1}, …, a_{n}⟩.

2⇒1. 𝔭A_{𝔭} – единственный простой, содержащий 𝔞A_{𝔭}. Следовательно, 𝔞A_{𝔭} – идеал определения.

1⇒2. По следствию 2.4.2.1 найдутся \frac{a_{1}}{s_{1}} , …, \frac{a_{n}}{s_{n}} ∈ 𝔭A_{𝔭}, порождающие идеал определения; очевидно, можно считать s_{1} = ⋯ = s_{n} = 1. Из того, что 𝔭A_{𝔭} – единственный простой, содержащий \frac{a_{1}}{1} , …, \frac{a_{n}}{1} , следует, что 𝔭 – минимальный простой, содержащий a_{1}, …, a_{n}.

Для дальнейшего удобно распространить понятие высоты на произвольный собственные идеалы: если 𝔞 – собственный идеал кольца, то его высота ht 𝔞 – это минимум из высот простых идеалов, содержащих 𝔞.

2.4.3.1 Следствие. (теорема Крулля о главном идеале)

Пусть A нетерово, a ∈ A, 𝔭 – минимальный простой, содержащий a. Тогда ht 𝔭 ≤ 1. □

2.4.3.2 Замечание. В нетеровом кольце A множество делителей нуля

⋃_{\begin{matrix}a∈A \\ a≠0 \end{matrix}} Ann a = ⋃_{𝔭∈Ass A} 𝔭 ⊃ ⋃_{ht 𝔭=0} 𝔭.

Таким образом, если a – не делитель нуля, то в теореме Крулля ht 𝔭 = 1.

2.4.3.3 Следствие. Пусть A нетерово, 𝔭_{0} ⫋ 𝔭_{1} ⫋ 𝔭_{2} – простые. Тогда существует бесконечно много 𝔮 ∈ Spec A таких, что 𝔭_{0} ⊂ 𝔮 ⊂ 𝔭_{2}.

Д. Можно считать, что 𝔭_{0} = 0 и что A локальное с максимальным идеалом 𝔭_{2}. По теореме Крулля

∀a ∈ 𝔭_{2}∃𝔮 ∈ Spec A : a ∈ 𝔮, ht 𝔮 = 1,

откуда

𝔭_{2} = ⋃_{\begin{matrix}𝔮∈Spec A \\ ht 𝔮=1 \end{matrix}} 𝔮.

Если их конечное число, по лемме об избежании простых 1.12.7 получаем 𝔭_{2} = 𝔮 для одного из 𝔮, но ht 𝔭_{2} ≥ 2.

Лекция 15

2.5 Размерность колец многочленов

Пусть A – кольцо, B = A[X].

2.5.1 Лемма. Пусть 𝔭′ ⫋ 𝔭′′ – простые идеалы в B такие, что 𝔭′ ∩A = 𝔭′′ ∩A = 𝔭. Тогда 𝔭′ = 𝔭[X] = 𝔭 · B.

Д. Профакторизовав по 𝔭[X], можно считать, что 𝔭 = 0, т. е. A – область. Пусть K – ее поле частных. Тогда K = S^{−1}A, где S = A \ {0}, и S^{−1}B = K[X]. Имеем S^{−1}𝔭′ ⫋ S^{−1}𝔭′′, поскольку операция локализации биективна на множестве простых идеалов, не пересекающих S.

Но K[X] – кольцо главных идеалов, тем самым dim K[X] = 1. Отсюда S^{−1}𝔭′ = 0 и 𝔭′ = 0 (та же биекция).

2.5.1.1 Следствие. dim A + 1 ≤ dim B ≤ 2 dim A + 1.

Д. 1. Рассмотрим цепочку

𝔭_{0} ⫋ 𝔭_{1} ⫋ ⋯ ⫋ 𝔭_{r} ⊂ A.

Тогда в B есть цепочка длиной r + 1:

𝔭_{0}[X] ⫋ 𝔭_{1}[X] ⫋ ⋯ ⫋ 𝔭_{r}[X] ⫋ 𝔭_{r}[X] + X · B.

2. Пусть в B есть цепочка длиной s:

𝔭′_{0} ⫋ 𝔭′_{1} ⫋ ⋯ ⫋ 𝔭′_{s}.

Рассмотрим цепочку

𝔭′_{0} ∩ A ⊂ 𝔭′_{1} ∩ A ⊂ ⋯ ⊂ 𝔭′_{s} ∩ A.

По лемме любой простой идеал встречается в ней не более 2 раз, откуда \frac{s+1}{2} − 1 ≤ dim A.

2.5.2 Лемма. Пусть 𝔞 – идеал в A, 𝔭 – минимальный простой, содержащий 𝔞. Тогда 𝔭[X] – минимальный простой, содержащий 𝔞[X].

Д. Пусть есть простой 𝔮 такой, что 𝔞[X] ⊂ 𝔮 ⊂ 𝔭[X]. При сужении до A получим 𝔞 ⊂ 𝔮 ∩ A ⊂ 𝔭. Из того, что 𝔭 – минимальный простой, содержащий 𝔞, следует, что 𝔮 ∩ A = 𝔭. По предыдущей лемме 𝔮 = 𝔭[X].

2.5.2.1 Следствие. Пусть 𝔭 ∩ A – простой идеал, A – \underline{нетерово}. Тогда ht_{A} 𝔭 = ht_{B} 𝔭[X].

Д. Ясно, что есть неравенство �≤�. Обратно, пусть n = ht_{A} 𝔭. По предложению 2.4.3 существует 𝔞 ⊂ A, порожденный n элементами, такой, что 𝔭 – минимальный простой, содержащий 𝔞. Тогда по лемме 𝔭[X] – минимальный простой, содержащий 𝔞[X]. Отсюда ht 𝔭[X] ≤ n по тому же предложению 2.4.3.

2.5.3 Теорема. Если A нетерово, то dim A[X_{1}, …, X_{n}] = dim A + n.

Д. Достаточно рассмотреть n = 1. Пусть в B есть цепочка простых идеалов

𝔭′_{0} ⫋ 𝔭′_{1} ⫋ ⋯ ⫋ 𝔭′_{s}.

Рассмотрим цепочку

𝔭′_{0} ∩ A ⊂ 𝔭′_{1} ∩ A ⊂ ⋯ ⊂ 𝔭′_{s} ∩ A.

Если все включения строгие, s ≤ dim A < dim A+1. В противном случае рассмотрим самое правое равенство

𝔭′_{j} ∩ A = 𝔭′_{j+1} ∩ A = 𝔭.

По лемме 2.5.1 имеем 𝔭′_{j} = 𝔭[X], откуда

j ≤ ht 𝔭[X].  (2.2)

По предыдущему следствию имеем

ht 𝔭[X] = ht 𝔭.  (2.3)

Поскольку правее 𝔭 равенств нет, имеем в A начинающуюся с 𝔭 цепочку длиной s − j − 1, т. е.

s − j − 1 ≤ coht 𝔭.  (2.4)

Из (2.2), (2.3), (2.4) следует

s − 1 ≤ ht 𝔭 + coht 𝔭 ≤ dim A.

2.6 Размерность конечно порожденных областей

Пусть F – конечно порожденное расширение поля k. Базисом трансцендентности расширения F/k называется любой набор элементов x_{1}, …, x_{r} ∈ F такой, что

1. x_{1}, …, x_{r} алгебраически независимы над k (то есть не существует ненулевого многочлена F ∈ k[X_{1}, …, X_{r}] такого, что F (x_{1}, …, x_{r}) = 0);

2. Расширение F/k(x_{1}, …, x_{r}) алгебраическое. Предполагается известным^{1}, что базис трансцендентности существует

и число элементов в нем является инвариантом расширения. Это число называется степенью трансцендентности F/k и обозначается tr. deg_{k} F.

Если A – k-алгебра конечного типа без делителей нуля, F – ее поле частных, полагаем

tr. deg_{k} A := tr. deg_{k} F.

2.6.1 Теорема. Пусть k – поле, A – k-алгебра конечного типа без делителей нуля. Тогда dim A = tr. deg_{k} A.

Д. По лемме Нетер о нормализации найдутся x_{1}, …, x_{r} ∈ A, алгебраически независимые над k, такие, что A – целое расширение k[x_{1}, …, x_{r}]. Получаем

dim A = dim k[x_{1}, …, x_{r}] = r = tr. deg_{k} k(x_{1}, …, x_{r}) = tr. deg_{k} A.

2.6.2 Предложение. (Усиленный вариант леммы о нормализации)

Пусть k – поле, A – конечно порожденная k-алгебра, 𝔞_{1} ⊂ ⋯ ⊂ 𝔞_{n} ⊂ A – идеалы. Тогда существуют x_{1}, …, x_{r} ∈ A такие, что:

1) x_{1}, …, x_{r} алгебраически независимы над k;

2) A цело над k[x_{1}, …, x_{r}]

3) 𝔞_{i} ∩ k[x_{1}, …, x_{r}] = ⟨x_{1}, …, x_{h(i)}⟩, i = 1, …, r, где h(i) – некоторые числа.

Д. I. Редукция к случаю A = k[Y_{1}, …, Y_{s}]. Поскольку A конечно порождена, существует эпиморфизм φ : k[Y_{1}, …, Y_{s}] → A. Поскольку теорема верна для k[Y_{1}, …, Y_{s}], мы можем ее применить, в частности, к цепочке идеалов

φ^{−1}(0) ⊂ φ^{−1}(𝔞_{1}) ⊂ ⋯ ⊂ φ^{−1}(𝔞_{k}),

что даст существование x′_{1}, …, x′_{r} ∈ k[Y_{1}, …, Y_{s}] с тремя свойствами. Тогда x_{1} = φ(x′_{h(0)+1}), …, x_{r−h(0)} = φ(x′_{r}) – искомые. II. A = k[Y_{1}, …, Y_{s}]. Используем индукцию по n. \underline{n = 0}. Достаточно положить x_{i} = Y_{i}. \underline{n = 1}. А. Допустим, что 𝔞_{1} главный, 𝔞_{1} = ⟨f⟩. Любой многочлен после подходящей замены переменных будет приведенным по одной из переменных, поэтому можно считать

f = Y_{1}^{N} + члены меньшей степени по Y_{1} .

Тогда x_{1} = f, x_{2} = Y_{2}, …, x_{s} = Y_{s} – искомые. Б. Индукция по s. Случай s = 0 тривиален, случай s = 1 только что рассмотрен (так как все идеалы главные). Будем считать 𝔞_{1} ≠ 0 (иначе подходят x_{i} = Y_{i}). Пусть x_{1} ∈ 𝔞_{1}, x_{1} ≠ 0. Как и выше, можно считать, что x_{1} приведенный по Y_{1}. Тогда A цело над A′ = k[x_{1}, Y_{2}, …, Y_{s}]. При этом

1См., например, [ZS, гл. II, �12]

𝔞_{1} ∩ A′ = ⟨x_{1}⟩ + (𝔞_{1} ∩ k[Y_{2}, …, Y_{s}]) · A′.

Применяя индукционное предположение к k[Y_{2}, …, Y_{s}], выбираем x_{2}, …, x_{s}.

\underline{n – любое} . По индукционному предположению существуют алгебраически независимые x_{1}, …, x_{r} такие, что A цело над k[x_{1}, …, x_{r}] и

𝔞_{i} ∩ k[x_{1}, …, x_{r}] = ⟨x_{1}, …, x_{h(i)}⟩  (2.5)

при i ≤ n − 1.

Рассмотрим кольцо k[x_{h(n−1)+1}, …, x_{r}] с идеалом 𝔞_{n}∩k[x_{h(n−1)+1}, …, x_{r}]. Применяя уже проверенный случай n = 1, получаем, что существуют x′_{h(n−1)+1}, …, x′_{r} ∈ k[x_{h(n−1)+1}, …, x_{r}] такие, что:

x′_{h(n−1)+1}, …, x′_{r} алгебраически независимы;

k[x_{h(n−1)+1}, …, x_{r}] цело над k[x′_{h(n−1)+1}, …, x′_{r}];

𝔞_{n} ∩ k[x′_{h(n−1)+1}, …, x′_{r}] = ⟨x′_{h(n−1)+1}, …, x′_{h(n)}⟩.

Положим x′_{1} = x_{1}, …, x′_{h(n−1)} = x_{h(n−1)} и докажем что x′_{1}, …, x′_{r} – искомые.

По транзитивности A цело над k[x′_{1}, …, x′_{r}]; следовательно, x′_{1}, …, x′_{r} алгебраически независимы.

Равенство 𝔞_{i}∩k[x′_{1}, …, x′_{r}] = ⟨x′_{1}, …, x′_{h(i)}⟩ проверим сперва для i ≤ n−1. Включение ⊃ очевидно. Включение в другую сторону выполняется, так как в противном случае найдется ненулевой f ∈ 𝔞_{i} такой, что

f ∈ k[x′_{h(n−1)+1}, …, x′_{r}] ⊂ k[x_{h(n−1)+1}, …, x_{r}],

что противоречит (2.5).

При i = n включение ⊃ очевидно; проверим оставшееся включение. Пусть f ∈ 𝔞_{n} ∩ k[x′_{1}, …, x′_{r}]. Либо f ∈ ⟨x′_{1}, …, x′_{h(n−1)}⟩, и тогда все очевидно, либо f ∈ k[x′_{h(n−1)+1}, …, x′_{r}], и тогда ⟨x′_{h(n−1)+1}, …, x′_{h(n)}⟩.

Лекция 16

2.6.3 Теорема. Пусть k поле, A – конечно порожденная k-алгебра без делителей нуля, 𝔭 ∈ Spec A. Тогда ht 𝔭 + coht 𝔭 = dim A.

Д. По предыдущему предложению существуют x_{1}, …, x_{r} ∈ A такие, что A цело над k[x_{1}, …, x_{r}] и 𝔭 ∩ k[x_{1}, …, x_{r}] = ⟨x_{1}, …, x_{h}⟩ при некотором h. С учетом теорем Коэна-Зайденберга имеем

dim A = dim k[x_{1}, …, x_{r}] = r
coht 𝔭 = coht 𝔭 ∩ k[x_{1}, …, x_{r}]
ht 𝔭 = ht 𝔭 ∩ k[x_{1}, …, x_{r}].

Таким образом, можно считать, что A = k[x_{1}, …, x_{r}], 𝔭 = ⟨x_{1}, …, x_{h}⟩. Имеем

coht 𝔭 = dim A/𝔭 = dim k[x_{h+1}, …, x_{r}] = r − h

и ht 𝔭 ≥ h, поскольку есть цепочка

0 ⊂ ⟨x_{1}⟩ ⊂ ⟨x_{1}, x_{2}⟩ ⊂ ⋯ ⊂ ⟨x_{1}, …, x_{h}⟩.

2.6.3.1 Следствие. В конечно порожденной k-алгебре без делителей нуля все максимальные^{2} цепочки простых идеалов имеют одну и ту же длину.

Д. Пусть 𝔭_{0} ⫋ 𝔭_{1} ⫋ ⋯ ⫋ 𝔭_{r} – максимальная. Очевидно, 𝔭_{0} = 0, 𝔭_{r} ∈ Max A, т. е. coht 𝔭_{r} = 0. Имеем ht 𝔭_{i+1}/𝔭_{i} = 1, и

coht 𝔭_{i+1} = coht 𝔭_{i+1}/𝔭_{i}
= dim A/𝔭_{i} − ht 𝔭_{i+1}/𝔭_{i}
= dim A/𝔭_{i} − 1
= coht 𝔭_{i} − 1

По индукции получаем r = coht 𝔭_{0} = dim A.

2.7 Системы параметров

В этом параграфе A – локальное нетерово кольцо с максимальным идеалом 𝔪, dim A = r. В этом случае идеал определения – это 𝔪-примарный идеал, и у него не менее r образующих.

Если ⟨a_{1}, …, a_{r}⟩ – 𝔪-примарный идеал, то говорят, что a_{1}, …, a_{r} – система параметров.

2.7.1 Лемма. Пусть a_{1}, …, a_{d} ∈ 𝔪, причем a_{1} + 𝔪^{2}, …, a_{d} + 𝔪^{2} – базис A/𝔪пространства 𝔪/𝔪^{2}. Тогда ⟨a_{1}, …, a_{d}⟩ = 𝔪.

Д. К 𝔪/⟨a_{1}, …, a_{d}⟩ применить лемму Накаямы.

2.7.1.1 Следствие. dim A ≤ dim_{A/𝔪} 𝔪/𝔪^{2}. □

Если dim A = dim_{A/𝔪} 𝔪/𝔪^{2}, кольцо A называется регулярным. При этом если ⟨a_{1}, …, a_{r}⟩ = 𝔪, то a_{1}, …, a_{r} – регулярная система параметров.

2.7.2 Теорема. Пусть A – локальное нетерово, 𝔪 – максимальный идеал,

dim A = r.

1. Для любых a_{1}, …, a_{s} ∈ 𝔪 имеем dim A/⟨a_{1}, …, a_{s}⟩ ≥ r − s.

2. Если a_{1}, …, a_{r} – система параметров, s ≤ r, то dim A/⟨a_{1}, …, a_{s}⟩ = r − s.

3. Можно выбрать такую систему параметров a_{1}, …, a_{r}, что

∀s ≤ r∀i_{1}, …, i_{s} ∈ {1, …, r} : ht⟨a_{i_{1}}, …, a_{i_{s}}⟩ = s.

Д. Положим Ā = A/⟨a_{1}, …, a_{s}⟩, 𝔪̄ = 𝔪/⟨a_{1}, …, a_{s}⟩.

1. Пусть dim Ā = t. Тогда по предложению 2.4.3 найдутся b_{1}, …, b_{t} ∈ 𝔪 такие, что 𝔪̄ – минимальный простой идеал, содержащий классы этих элементов по модулю ⟨a_{1}, …, a_{s}⟩. Иначе говоря, 𝔪 – минимальный простой, содержащий a_{1}, …, a_{s}, b_{1}, …, b_{t}, откуда dim A = ht 𝔪 ≤ s + t.

2. 𝔪̄ – минимальный простой, содержащий классы элементов a_{s+1}, …, a_{r}, откуда dim Ā ≤ r − s.

2которые нельзя удлинить, добавляя идеалы слева, справа или внутрь

3. При r ≤ 1 утверждение очевидно. (Любая система параметров годится.) Пусть r > 1.

Обозначим через 𝔭_{01}, …, 𝔭_{0e_{0}} все простые идеалы высоты 0. По лемме об избежании простых 1.12.7 имеем

𝔭_{01} ∪ ⋯ ∪ 𝔭_{0e_{0}} ≠ 𝔪;

выберем a_{1} ∈ 𝔪\⋃ 𝔭_{0i}. Ясно, что ht⟨a_{1}⟩ = 1. Пусть 𝔭_{11}, …, 𝔭_{1e_{1}} – все минимальные простые надидеалы ⟨a_{1}⟩ (или, что то же самое, все простые надидеалы ⟨a_{1}⟩ высоты 1). Выберем

a_{2} ∈ 𝔪 \ ⋃ 𝔭_{0i} \ ⋃ 𝔭_{1i};

это множество непусто ввиду ht 𝔪 = r ≥ 2. Ясно, что ht⟨a_{2}⟩ = 1, ht⟨a_{1}, a_{2}⟩ = 2.

Если r ≥ 3, то выберем в качестве a_{3} любой элемент 𝔪, не лежащий в минимальных простых надидеалах каждого из идеалов 0, ⟨a_{1}⟩, ⟨a_{2}⟩, ⟨a_{1}, a_{2}⟩. Аналогично при необходимости строятся a_{4}, a_{5}, …

2.7.3 Теорема. Пусть A – регулярное с максимальным идеалом 𝔪, dim A = r.

Пусть a_{1}, …, a_{i} ∈ 𝔪. Тогда следующие 3 утверждения эквивалентны. 1. a_{1}, …, a_{i} – часть регулярной системы параметров A.

2. a_{1} + 𝔪^{2}, …, a_{i} + 𝔪^{2} линейно независимы над A/𝔪.

3. A/⟨a_{1}, …, a_{i}⟩ – (r − i)-мерное регулярное.

Д. 1⇒2. Если a_{1}, …, a_{r} – регулярная система параметров, то a_{1} + 𝔪^{2}, …, a_{r} + 𝔪^{2} – базис 𝔪/𝔪^{2}.

1⇒3. Размерность считается по предыдущей теореме.

3⇒1. 𝔪/⟨a_{1}, …, a_{i}⟩ порождается классами некоторых b_{1}, …, b_{r−i}. Отсюда 𝔪 = ⟨a_{1}, …, a_{i}, b_{1}, …, b_{r−i}⟩.

2⇒1. Дополним до базиса какими-нибудь элементами a_{i+1} + 𝔪^{2}, …, a_{r} + 𝔪^{2}. Тогда по лемме 2.7.1 ⟨a_{1}, …, a_{r}⟩ = 𝔪.

2.7.4 Теорема. Пусть A – регулярное с максимальным идеалом 𝔪, dim A = d, k = A/𝔪. Тогда gr_{𝔪} A ≃ k[X_{1}, …, X_{d}].

Д. Поскольку 𝔪 имеет d образующих, gr_{𝔪} A имеет d образующих как kалгебра. Следовательно, gr_{𝔪} A ≃ k[X_{1}, …, X_{d}]/𝔞, 𝔞 – однородный идеал. Если 𝔞 ≠ 0, то ∃f ∈ 𝔞 : deg f = r ≥ 0. При n > r имеем

l((k[X_{1}, …, X_{d}]/𝔞)_{n}) ≤ l((k[X_{1}, …, X_{d}]/⟨f⟩)_{n})

= \binom{n + d − 1}{d − 1} − \binom{n − r + d − 1}{d − 1}.

Это многочлен от n степени d − 2. Следовательно, deg P_{𝔪}(A, −) ≤ d − 1, противоречие.

2.7.4.1 Следствие. Регулярное локальное кольцо – область целостности.

Д. Пусть x, y ∈ A\{0}, xy = 0. Поскольку ⋂ 𝔪^{n} = 0, найдутся i, j такие, что x ∈ 𝔪^{i} \ 𝔪^{i+1}, y ∈ 𝔪^{j} \ 𝔪^{j+1}. Пусть x̄ – класс x в (gr_{𝔪} A)_{i}, ȳ – класс y в (gr_{𝔪} A)_{j}. Имеем x̄ · ȳ ≠ 0, откуда \overline{xy} ≠ 0 и xy ≠ 0.